Квадратичная и кубическая функции. График функции График 2х 2 1

Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями \

Исследуем сначала графики функций \(x\left(t \right)\) и \(x\left(t \right)\). Обе функции представляют собой кубические многочлены, которые определены для всех \(x \in \mathbb{R}.\) Находим производную \(x"\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = {\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 2t - 1.} \] Решая уравнение \(x"\left(t \right) = 0,\) определяем стационарные точки функции \(x\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 2t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{6} = - 1;\;\frac{1}{3}.} \] При \(t = 1\) функция \(x\left(t \right)\) достигает максимума, равного \ а в точке \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) она имеет минимум, равный \[ {x\left({\frac{1}{3}} \right) } = {{\left({\frac{1}{3}} \right)^3} + {\left({\frac{1}{3}} \right)^2} - \left({\frac{1}{3}} \right) } = {\frac{1}{{27}} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = - \frac{5}{{27}}.} \] Рассмотрим производную \(y"\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = {\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 4t - 4.} \] Находим стационарные точки функции \(y\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 4t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {64} }}{6} = - 2;\;\frac{2}{3}.} \] Здесь, аналогично, функция \(y\left(t \right)\) достигает максимума в точке \(t = -2:\) \ и минимума в точке \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize:\) \[ {y\left({\frac{2}{3}} \right) } = {{\left({\frac{2}{3}} \right)^3} + 2{\left({\frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{2}{3} } = {\frac{8}{{27}} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} } = { - \frac{{40}}{{27}}.} \] Графики функций \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) схематически показаны на рисунке \(15a.\)

Заметим, что так как \[ {\lim\limits_{t \to \pm \infty } x\left(t \right) = \pm \infty ,}\;\;\; {\lim\limits_{t \to \pm \infty } y\left(t \right) = \pm \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот. Более того, поскольку \[ {k = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{y\left(t \right)}}{{x\left(t \right)}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{{t^3} + 2{t^2} - 4t}}{{{t^3} + {t^2} - t}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{2}{t} - \frac{4}{{{t^2}}}}}{{1 + \frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}}} = 1,} \] \[ {b = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \left[ {y\left(t \right) - kx\left(t \right)} \right] } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\cancel{\color{blue}{t^3}} + \color{red}{2{t^2}} - \color{green}{4t} - \cancel{\color{blue}{t^3}} - \color{red}{t^2} + \color{green}{t}} \right) } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\color{red}{t^2} - \color{green}{3t}} \right) = + \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет также и наклонных асимптот.

Определим точки пересечения графика \(y\left(x \right)\) с осями координат. Пересечение с осью абсцисс происходит в следующих точках: \[ {y\left(t \right) = {t^3} + 2{t^2} - 4t = 0,}\;\; {\Rightarrow t\left({{t^2} + 2t - 4} \right) = 0;} \]

1. \({{t^2} + 2t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left({ - 4} \right) = 20,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 2 \pm \sqrt {20} }}{2}\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .} \)

1. \({{t^2} + t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left({ - 1} \right) = 5,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 1 \pm \sqrt {5} }}{2}\normalsize.} \)

На втором промежутке \(\left({ - 2, - 1} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({ - 2} \right) = - 2\) до \(x\left({ - 1} \right) = 1,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({ - 2} \right) = 8\) до \(y\left({ - 1} \right) = 5.\) Здесь мы имеем участок убывающей кривой \(y\left(x \right).\) Она пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 + 2\sqrt 5 } \right).\)

На третьем интервале \(\left({ - 1,\large\frac{1}{3}\normalsize} \right)\) обе переменные убывают. Значение \(x\) изменяется от \(x\left({ - 1} \right) = 1\) до \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize.\) Соответственно, значение \(y\) уменьшается от \(y\left({ - 1} \right) = 5\) до \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize.\) Кривая \(y\left(x \right)\) при этом пересекает начало координат.

На четвертом интервале \(\left({\large\frac{1}{3}\normalsize,\large\frac{2}{3}\normalsize} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize\) до \(x\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = \large\frac{2}{{27}}\normalsize,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize\) до \(y\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{40}{{27}}\normalsize.\) На этом участке кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 - 2\sqrt 5 } \right).\)

Наконец, на последнем интервале \(\left({\large\frac{2}{3}\normalsize, + \infty } \right)\) обе функции \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) возрастают. Кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось абсцисс в точке \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)

Для уточнения формы кривой \(y\left(x \right)\) вычислим точки максимума и минимума. Производная \(y"\left(x \right)\) выражается в виде \[ {y"\left(x \right) = {y"_x} } = {\frac{{{y"_t}}}{{{x"_t}}} } = {\frac{{{{\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}} } = {\frac{{\cancel{3}\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\cancel{3}\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}} } = {\frac{{\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}}.} \] Изменение знака производной \(y"\left(x \right)\) показано на рисунке \(15c.\) Видно, что в точке \(t = - 2,\) т.е. на границе \(I\)-го и \(II\)-го интервалов кривая имеет максимум, а при \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize\) (на границе \(IV\)-го и \(V\)-го интервалов) существует минимум. При переходе через точку \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) производная также меняет знак с плюса на минус, но в этой области кривая \(y\left(x \right)\) не является однозначной функцией. Поэтому указанная точка экстремумом не является.

Исследуем также выпуклость данной кривой. Вторая производная \(y""\left(x \right)\) имеет вид: \[ y""\left(x \right) = {y""_{xx}} = \frac{{{{\left({{y"_x}} \right)}"_t}}}{{{x"_t}}} = \frac{{{{\left({\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} = \frac{{\left({6t + 4} \right)\left({3{t^2} + 2t - 1} \right) - \left({3{t^2} + 4t - 4} \right)\left({6t + 2} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{18{t^3} + 12{t^2} + 12{t^2} + 8t - 6t - 4 - \left({18{t^3} + 24{t^2} - 24t + 6{t^2} + 8t - 8} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{\cancel{\color{blue}{18{t^3}}} + \color{red}{24{t^2}} + \color{green}{2t} - \color{maroon}{4} - \cancel{\color{blue}{18{t^3}}} - \color{red}{30{t^2}} + \color{green}{16t} + \color{maroon}{8}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - \color{red}{6{t^2}} + \color{green}{18t} + \color{maroon}{4}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 6\left({t - \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right)\left({t - \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right)}}{{{{\left({t + 1} \right)}^3}{{\left({3t - 1} \right)}^3}}}. \] Следовательно, вторая производная меняет свой знак на противоположный при переходе через следующие точки (рис.\(15с\)): \[ {{t_1} = - 1:\;\;x\left({ - 1} \right) = 1,}\;\; {y\left({ - 1} \right) = 5;} \] \[ {{t_2} = \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,24;}\;\; {y\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,91;} \] \[ {{t_3} = \frac{1}{3}:}\;\; {x\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{5}{{27}},}\;\; {y\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{{29}}{{27}};} \] \[ {{t_4} = \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,1;}\;\; {y\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,8.} \] Поэтому указанные точки представляют собой точки перегиба кривой \(y\left(x \right).\)

Схематический график кривой \(y\left(x \right)\) показан выше на рисунке \(15b.\)

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x 2 .

Решение.

Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

• Визуальное отображение вводимых функций
• Построение очень сложных графиков
• Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
• Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
• Управление масштабом, цветом линий
• Возможность построения графиков по точкам, использование констант
• Построение одновременно нескольких графиков функций
• Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

«Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а < 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.