Решение двойственной задачи линейного программирования. Правила составления двойственных задач линейного программирования Решение двойственных злп примеры

Приводятся формулировки первой и второй теорем двойственности. Показано, как получить решение двойственной задачи из решения прямой, применяя теоремы двойственности. Примеры решения задач.

См. также: Правила составления двойственных задач

Здесь мы рассмотрим вопрос, как из решения прямой задачи, получить решение двойственной задачи.

Теоремы двойственности

Первая теорема двойственности

Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и двойственная задача имеет оптимальное решение. При этом значения целевых функций прямой и двойственной задачи, для оптимальных решений, равны друг другу.

Если одна из пары двойственных задач не имеет решения вследствие неограниченности целевой функции, то двойственная задача не имеет решения вследствие несовместимости системы ограничений.

Вторая теорема двойственности

;

.

Применим вторую теорему двойственности. Подставим оптимальные значения переменных в систему ограничений прямой задачи.
(П1.1.1) ;
(П1.1.2) ;
(П1.1.3) ;
(П1.1.4) .
Поскольку первая и четвертая строки являются строгими неравенствами (не являются равенствами), то
и .

Поскольку и , то 2-я и 4-я строки двойственной задачи являются равенствами:

Подставим уже найденные значения и , имеем:

Отсюда
;
; .

Двойственная задача имеет вид:
;

Ее решение
;

Пример 2

Дана задача линейного программирования:
(П2.1.1) ;
(П2.1.2)
Найти решение этой задачи, решив двойственную задачу графическим методом.

(П2.2.1) ;
(П2.2.2)

Решение задачи (П2.2) приводится на странице “Решение задач линейного программирования графическим методом ”. Решение задачи (П2.2) имеет вид:
; .

Согласно первой теореме двойственности, оптимальное значение целевой функции равно
.

Применим вторую теорему двойственности. Подставим оптимальные значения переменных в систему ограничений прямой задачи (П2.2).
;
;
.
Поскольку третья строка является строгим неравенством (не являются равенством), то
.

Поскольку и , то 1-я и 2-я строки двойственной задачи (П2.1) являются равенствами:

Подставим найденное значение .

Решаем систему уравнений.
;
;
;
; ;
.

Решение исходной задачи (П2.1) имеет вид:
; .

Метод, при котором вначале симплекс-методом решается одна из взаимно двойственных задач, а затем оптимум и оптимальное решение другой задачи находятся с помощью теорем двойственности, называется двойственным симплекс-методом .

Теорема 1 (Первая теорема двойственности) . Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и

другая, причем оптимальные значения их целевых функций равны:

Если целевая функция исходной задачи не ограничена, то система ограничений двойственной задачи несовместна.

Примечание: утверждение, обратное по отношению ко второй части первой теоремы двойственности, в общем случае неверно.

Теорема 2 . Компоненты оптимального плана двойственной задачи (обладающие условием неотрицательности ) равны абсолютным значениям коэффициентов

Компоненты оптимального плана двойственной задачи (не ограниченные по знаку ) равны значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.

Теорема 3 . Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из задач симметричной двойственной пары соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любых и :

Теорема 4 (Третья теорема двойственности) . Компоненты оптимального плана двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции по соответствующим аргументам, т.е.

. (7.2)

Экономическая интерпретация третьей теоремы двойственности : компоненты оптимального плана двойственной задачи показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.

Пример 9.1. На основе решения примера 5.2 (файл «Алгоритм и примеры симплекс-метода») определим двойственным симплекс- методом оптимальное решение двойственной задачи.

Данная двойственная пара является симметричной. Задачи записаны в стандартной форме, приведем их к каноническому виду:

Установим соответствие между переменными взаимно двойственных задач.

На основе решения примера 5.2. симплекс-таблица последней итерации (таблица 5.10) имеет вид:

Таблица 9.3

В соответствии с теоремой 2, оптимальные значения переменных и будут равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.

По таблице 9.3 выпишем целевую функцию исходной задачи, выраженную через свободные переменные ее оптимального решения:

Следовательно, , .

Переменные , , и не присутствуют в целевой функции (т.е. коэффициенты при них равны нулю), следовательно, оптимальные значения соответствующих им переменных , , и равны нулю.

В соответствии с теоремой 1, .

Таким образом, оптимальное значение целевой функции , которое достигается при .

Пример 9.2. На основе решения исходной задачи найти оптимальное решение двойственной задачи используя двойственный симплекс-метод.

Данная двойственная пара является несимметричной. Приведем к каноническому виду двойственную задачу.

Для установления соответствия переменных двойственной пары введем в исходную задачу две недостающие фиктивные переменные.

Установим соответствие между переменными взаимно двойственных задач.

Таблица 9.4

Соответствие переменных двойственной пары

Решим исходную задачу симплекс-методом.

Используя метод Жордана-Гаусса, выделим в системе ограничений исходной задачи в качестве базисных переменные и (примечание: не использовать в качестве базисных фиктивные переменные).

В результате преобразований получим следующую матрицу коэффициентов:

.

Система ограничений исходной задачи примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные, в результате исходная задача примет следующий вид:

Подставив полученные значения базисных переменных в целевую функцию, она примет следующий вид:

В результате решения симплекс-методом преобразованной исходной задачи на последней итерации получим следующую симплекс-таблицу:

Таблица 9.5

Симплекс-таблица оптимального решения исходной задачи

Краткая теория

Заполняем симплексную таблицу 0-й итерации.

Так как мы решаем задачу на максимум – наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и что от таблицы 0-й итерации необходимо перейти к следующей.

Переход к следующей итерации осуществляем следующим образом:

Ведущий столбец соответствует .

Ключевая строка определяется по минимуму соотношений свободных членов и членов ведущего столбца (симплексных отношений):

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е.7.

Теперь приступаем к составлению 1-й итерации. Вместо единичного вектора вводим вектор .

В новой таблице на месте разрешающего элемента пишем 1, все остальные элементы ключевого столбца –нули. Элементы ключевой строки делятся на разрешающий элемент. Все остальные элементы таблицы вычисляются по правилу прямоугольника.

Получаем таблицу 1-й итерации:

Ключевой столбец для 1-й итерации соответствует .

Находим ключевую строку, для этого определяем:

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 31/7.

Вектор выводим из базиса и вводим вектор .

Получаем таблицу 2-й итерации:

В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):

Таким образом, необходимо продавать 7,1 тыс.р. товара 1-го вида и 45,2 тыс.р. товара 3-го вида. Товар 2-го вида продавать невыгодно. При этом прибыль будет максимальна и составит 237,4 тыс.р. При реализации оптимального плана остаток ресурса 3-го вида составит 701 ед.

С помощью данного онлайн-калькулятора можно получить:

• решение двойственной задачи линейного программирования через решений прямой задачи (симплексным методом, по теореме двойственности);
• оптимальный план двойственной задачи; оценки ресурсов (двойственные оценки);
• определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов;
• изменение целевой функции при изменении параметров; обоснование эффективности оптимального плана;
• анализ устойчивости двойственных оценок (предельное изменение b i , c i); анализ субоптимальных вариантов плана.

Инструкция . Выберите количество переменных и количество ограничений прямой задачи линейного программирования, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel . При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте. Если прямая задача ЛП не имеет решение, но требуется составить двойственную задачу или одна из переменных x i неопределена, то можно использовать этот калькулятор .

Основная идея теории двойственности : для каждой задачи линейного программирования (ЛП) существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с прямой. При этом:

• матрица ограничений двойственной задачи (ДЗ) есть транспонированная матрица прямой задачи;
• вектор "цен" для прямой задачи есть вектор правых частей ограничений задачи ДЗ и наоборот.

Пример . Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x 1 +5x 2 +4x 3 при следующих условиях-ограничений.
0.1x 1 + 0.2x 2 + 0.4x 3 ≤1100
0.05x 1 + 0.02x 2 + 0.02x 3 ≤120
3x 1 + x 2 + 2x 3 ≤8000

Решим прямую задачу симплексным методом.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.
0.1x 1 + 0.2x 2 + 0.4x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 1100
0.05x 1 + 0.02x 2 + 0.02x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 120
3x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 8000
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x 4 , x 5 , x 6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,1100,120,8000)
Поскольку задача решается на максимум, то ведущий столбец выбирают по максимальному отрицательному числу и индексной строке. Все преобразования проводят до тех пор, пока не получатся в индексной строке положительные элементы.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Пример №2 . Для выполнения задания необходимо, чтобы одновременно взлетели 50 АК I-го вида, 30 АК 2-го вида и 45 АК 3-го вида. АК расположены на аэродромах I и II. В таблице представлено среднее время взлета (в секундах) с соответствующего аэродрома одного АК данного типа.

Решение. Обозначим через:
x 11 - АК 1-го типа на первом аэродроме,
x 12 - АК 1-го типа на втором аэродроме,
x 21 - АК 2-го типа на первом аэродроме,
x 22 - АК 2-го типа на втором аэродроме,
x 31 - АК 3-го типа на первом аэродроме,
x 32 - АК 3-го типа на втором аэродроме,

Ограничения
4x 11 + 6x 12 = 50
10x 21 + 8x 22 = 30
10x 31 + 20x 32 = 45
x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , x 31 ,x 32 ≥ 0
x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , x 31 ,x 32 -целые числа

Целевая функция
4x 11 + 6x 12 + 10x 21 + 8x 22 +10x 31 + 20x 32 → min

После найденного решения, ответом на первый вопрос будут значения переменных x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , x 31 ,x 32 . Информация об ответе на второй вопрос будет расположена в разделе Интервалы устойчивости коэффициентов целевой функции.

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x при . min (40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x 1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x 4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F (X )=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е.

Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x 2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x 3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x 5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.